1.1.1 Кинематика поступательного движения

1.1.2 Равномерное прямолинейное движение

1.1.3 Неравномерное движение

1.1.4 Равнопеременное прямолинейное движение

1.1.5 Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх

1.1.6 Движение тела, брошенного под углом к горизонту и брошенного горизонтально с некоторой высоты

1.1.7 Равномерое движение точки по окружности

1.1.8 Вращательное движение абслютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Кинематика изучает различные механические движения тел без рассмотрения причин вызывающих эти движения.

При поступательном движении тела все точки тела движутся одинаково, и, вместо того чтобы рассматривать движение каждой точки тела, можно рассматривать движение только одной его точки.

Основные характеристики движения материальной точки: траектория движения, перемещение точки, пройденный ею путь, координаты, скорость и ускорение.

Линию, по которой движется материальная точка в пространстве, называют траекторией.

Перемещением материальной точки за некоторый промежуток времени называется вектор перемещения ∆r=r-r₀, направленный от положения точки в начальный момент времени к ее положению в конечный момент.

Скорость материальной точки представляет собой вектор, характеризующий направление и быстроту перемещения материальной точки относительно тела отсчета. Вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета.

Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материальной точки направлен вдоль ее траектории в сторону движения. Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за любой промежуток времени, поделенному на этот промежуток времени:

Примем линию, по которой движется материальная точка, за ось координат ОХ, причем за положительное направление оси выберем направление движения точки. Тогда, спроецировав векторы r и v, на эту ось, для проекций ∆r_x = |∆r|   и   ∆v_x = |∆v| этих векторов мы можем записать:

, отсюда получаем уравнение равномерного движения:

Т.к. при равномерном прямолинейном движении S = |∆r|, можем записать: S_x = v_x · t. Тогда для координаты тела в любой момент времени имеем:

где х₀ - координата тела в начальный момент t = 0.

Пример 1. Уравнение движения тела дано в виде х = 4 - 3t. Определить начальную координату тела, скорость движения и перемещения тела за 2 секунды.

Дано:

х = 4 - 3t,

t₁ = 2с;

х₀ - ? v_x - ? S - ?

Решение: Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде: х = х₀ + v_x t   и   х = 4 - 3t.

Очевидно, что х₀ = 4м, v_x = - 3м/с (знак "-" означает, что направление скорости не совпадает с направлением оси ОХ, т.е. они противоположно направлены). Перемещение тела найдем по формуле: S = х - х₀. Конечную координату х можно определить, подставляя в уравнение движения время t₁: х = 4 - 3t₁. В общем виде формула перемещения: S = 4 - 3t₁ - х₀ = 4 - 3t₁ - 4 = - 3t₁ = -3 · 2 = - 6 м (Тело движется в отрицательном направлении оси ОХ).

Ответ: х₀ = 4м; v_x = -3м/с; S = -6м.

Пример 2.Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за время t =10 мин. по траектории АВ. Скорость течения реки vр = 0,3 м/с, ширина реки 240 м. С какой скоростью v относительно воды и под каким углом α к берегу должна двигаться лодка, чтобы достичь другого берега за указанное время?

Дано: vр = 0,3 м/с, L = 240 м, t = 10 мин = 660 с. v' - ? α - ?

Рисунок 1.1

Решение: Примем берег за неподвижную систему отсчета. Тогда относительно берега скорость лодки равна:

Эта скорость (рисунок 1.1), является суммой двух скоростей: скорости лодки относительно воды v' (скорости относительно подвижной системы отсчета) и скорости реки v_р (скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной). По закону сложения скоростей: v =v_р + v'. Так как по условию задачи скорость лодки относительно берега направлена вдоль АВ, а скорость реки перпендикулярно АВ, то скорость лодки относительно воды(по теореме Пифагора):

Искомый угол можно найти из выражения:

Ответ: v' = 0.5 м /с, α = arctg ≈ 53⁰.

Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения называют неравномерным или переменным. Средней скоростью v_ср называется величина, равная отношению перемещения тела ∆r за некоторый промежуток времени ∆t к этому промежутку:

Модуль средней скорости определяется как отношение пути ∆S, пройденного телом за некоторый промежуток времени, к этому промежутку:

Направление вектора средней скорости vср совпадает с направлением ∆r (рисунок 1.2). При неограниченном уменьшении ∆t, vср стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью. Итак, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится средняя скорость vср, когда промежуток времени движения стремится к нулю:

Из курса математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю представляет собой первую производную этой функции по данному аргументу. Поэтому:

Мгновенная скорость v есть векторная величина, равная первой производной радиуса - вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рисунок 1.2).

По мере уменьшение ∆t путь ∆S все больше будет приближаться к |∆r|, поэтому модуль мгновенной скорости:

Таким образом, модуль мгновенной скорости v равен первой производной пути по времени :

При неравномерном движении тела его скорость непрерывно изменяется. Как быстро изменяется скорость тела, показывает величина, которая называется ускорением. Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + ∆t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости ∆v к интервалу времени ∆t:

Мгновенным ускорением а в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение ∆а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. В данной системе отсчета вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие координатные оси (проекциями а_х, а_у, а_z).

Составляющая а_τ вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке, называется тангенциальным (касательным) ускорением. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор а_τ направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости (рисунок 1.3 - а) и в противоположную сторону - при убывании скорости (рисунок 1.3 - б).

а)	б)
Рисунок 1.3

Тангенциальная составляющая ускорения а_τ равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю:

Вторая составляющая ускорения, равная:

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют так же центростремительным ускорением).

Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

Пример 1. Пусть х возрастает пропорционально квадрату времени, т.е. х = А·t². Чему равна мгновенная скорость в момент времени t₁ - ?

Дано:

х = А·t²;

v - ?

Решение: В общем случае производная от степенной функции tⁿ записывается в виде:

Мгновенная скорость определяется:

Ответ: В момент времени t₁ имеем v = 2·а·t₁.

Пример 2. Зависимость пройденного телом пути S от времени t задается уравнением S = At - Bt² + Ct³, где А = 2 м/с, В = 3 м/с², С = 4 м/с³.

Найти:   а) зависимость скорости v и ускорения a тела от времени t;

б) расстояние S, скорость v и ускорение а тела через время t =2 с после начала движения.

Дано:

S = At - Bt² + Ct³, А = 2 м/с, В = 3 м/с², С = 4 м/с³;

а) v(t) -?, a(t) -?

б) S -? , V -? , a-? при t = 2 c.

Решение:

а) Скорость тела: v = ds /dt ; v = A - 2Bt + 3Ct²; v = 2 - 6t + 12t² м/с. Ускорение тела: а = dv /dt; а= - 2B + 6Сt; a = - 6 + 24t м/с².

б) Расстояние, пройденное телом, S = 2t - 3t² + 4t³. Тогда через время t = 2c имеем: S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с².

Ответ: v = 2 - 6t + 12t²; a = - 6 + 24 t м/с²; S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с².

Равнопеременным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. на равные величины. Это движение может быть равноускоренным и равнозамедленным.

Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости v точки, движение называется равноускоренным. Если направление векторов а и v противоположны, движение называется равнозамедленным.

При равнопеременном прямолинейном движении ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению (а = const). При этом среднее ускорение а_ср равно мгновенному ускорению а вдоль траектории точки. Нормальное ускорение при этом отсутствует ( а_n=0 ).

Изменение скорости ∆v = v - v₀ в течении промежутка времени ∆t = t - t₀ при равнопеременном прямолинейном движении равно: ∆v = a·∆t, или v - v₀ = a·(t - t₀). Если в момент начала отсчета времени (t₀) скорость точки равна v₀ (начальная скорость) и ускорение а известно, то скорость v в произвольный момент времени t: v = v₀ + a·t. Проекция вектора скорости на ось ОХ связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением: v_х = v_0х ± a_х·t. Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси.

Вектор перемещения ∆r точки за промежуток времени ∆t = t - t₀ при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v₀ и ускорением а равен:

а его проекция на ось ОХ (или перемещение точки вдоль соответствующей оси координат) при t₀ = 0 равна:

Путь S_x, пройденный точкой за промежуток времени ∆t = t - t₀ в равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v₀ и ускорением а, при t₀ = 0 равен:

Так как координата тела равна х = х₀ + S, то уравнение движения тела имеет вид:

Возможно так же при решении задач использовать формулу:

Пример 1. Ускорение автомобиля равно а = - 4 м/с₂. Что это означает?

Решение: Ускорение автомобиля отрицательно, следовательно, скорость его уменьшается, т.е. автомобиль тормозит. Его скорость уменьшается на 4 м/с за каждую секунду.

Пример 2. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, движется равнозамедленно, с ускорением 20 см/с², другой, имея скорость 5,4 км/ч, движется равноускоренно с ускорением 0,2 м/с². Через какое время велосипедисты встретятся и какое перемещение совершит каждый из них до встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?

Дано: v01 = 18 км/ч = 5 м/с, a1 = 20 см/с2 = 0,2 м/с2, v02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с, a2 = 0,2 м/с2, x02 = 130 м S1 - ? S2 - ? t1 - ?

Рисунок 1.4

Решение: Пусть ось ОХ совпадает с направлением движения первого велосипедиста, а начало координат с точкой O, в которой он находился в момент времени t = 0 (рисунок 1.4). Тогда уравнения движения велосипедиста таковы :

(т.к. а_1х= - а₁; х₀₁ = 0);

(т.к. v_2x = - v₀₂ и a_2x = - a₂).

В момент встречи в точке А: t = t₁; x₁ = x₂. Тогда получим равенство:

, откуда v₀₁·t₁ + v₀₂·t₁ = х₀₂, т.к. а₁ = а₂,

Определим перемещение каждого до встречи.

Ответ: S₁ = 60 м; S₂ = 70 м; t₁ = 20 c.

Свободным падением называется движение, которое совершило бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха. При свободном падении тела с небольшой высоты h от поверхности Земли (h ≪R_з, где R_з - радиус Земли) оно движется с постоянным ускорением g, направленным вертикально вниз.

Ускорение g называется ускорением свободного падения. Оно одно и тоже для всех тел и зависит лишь от высоты над уровнем моря и от географической широты. Если в момент начала отсчета времени (t₀ = 0) тело имело скорость v₀, то по истечении произвольного промежутка времени ∆t = t - t₀ скорость тела при свободном падении будет: v = v₀ + g·t.

Путь h, пройденный телом в свободном падении, к моменту времени t:

Модуль скорости тела после прохождения в свободном падении пути h находится из формулы:

Т.к. v_k²-v₀²=2·g·h, то

Продолжительность ∆t свободного падения без начальной скорости (v₀ = 0) с высоты h:

Пример 1. Тело падает вертикально вниз с высоты 20 м без начальной скорости. Определить:

1) путь h, пройденный телом за последнюю секунду падения,

2) среднюю скорость падения v_ср,

3) среднюю скорость на второй половине пути v_ср2.

Дано: h0 = 0м, ∆t = 1c, h - ? vср -? vср2 -?

Рисунок 1.5

Решение: Направим ось у вертикально вниз, и пусть начало координат совпадает с начальным положением тела (рисунок 1.5).

1) Согласно формуле:

уравнение движения запишется в виде:

в момент падения на землю у = h₀. Отсюда время движения тела:

За время ( t - ∆t) тело прошло путь

Путь за последнюю секунду равен:

2) Тело прошло путь h₀. Время движения . Тогда средняя скорость падения

или

,

3) Для определения средней скорости на второй половине пути, необходимо узнать время, за которое эта часть пути пройдена. Время движения на второй половине пути равно полному времени полета t минус время t₁, затраченное на прохождение первой половины пути. Время t₁ находится из уравнения:

,т.е.

Таким образом,

Следовательно,

Ответ: h = 15м; v_ср = 10м/с; v_ср2 = 17м/с.

При движении тела вертикально вверх с начальной скоростью v₀, ускорение тела равно ускорению свободного падения g. На участке до наивысшей точки подъема движение тела является равнозамедленным, а после достижения этой точки - свободным падением без начальной скорости.

Скорость тела в произвольный момент времени t от начала движения независимо от того, рассматривается лишь подъем тела или его опускание после достижения наивысшей точки, равна v = v₀ + g·t.

Вектор перемещения ∆r тела за произвольный промежуток времени ∆t = t - t₀, при условии t₀ = 0, равен:

В момент времени t_под, соответствующий наибольшему подъему тела над точкой бросания (когда у = у_мах или высота подъема тела максимальна h = h_max = у_max - у₀) скорость тела станет равна нулю: v = v₀ - g·t_под = 0, откуда t_под = v₀/g, в этот момент направление движения тела изменяется на противоположное.

Максимальная высота подъема тела над точкой бросания:

Движение тела, брошенного с некоторой высоты, можно разложить на два независимых движения: равномерное прямолинейное, происходящее в горизонтальном направлении со скоростью υ_х , равной начальной скорости бросания υ₀ (υ_х = υ₀), и свободное падение с высоты, на которой находилось тело в момент бросания, с ускорением g. Для описания этого движения выбирают прямоугольную систему координат хОу. Траектория движения является ветвь параболы (рисунок 1.6).

Уравнение движения по осям Ох и Оу:

Скорость тела в любой точке траектории можно определить по формуле:

При этом время полета связано с вертикальной составляющей движения. Дальность полета - с горизонтальной.

Пример 1. С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью υ₀ = 15 м/с. Найти: сколько времени камень будет в движении; на каком расстоянии S_x от основании башни он упадет на землю; с какой скоростью υ он упадет на землю; какой угол φ составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю.

Дано:

h = 25 м,

υ₀ = υ_х = 15 м/с;

t -?, L -?, υ -?, φ -?

Решение:

Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два (рисунок 1.7): горизонтальное S_x и вертикальное S_y.

Применяя закон независимости движения, имеем:

,  ,  отсюда,

1)

2) S_x = L = v₀·t = 15 · 2,26 = 33,9 м;

3) v_у = g · t = 9,81 · 2,26 = 22,1 м/с,

4)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, также можно разложить на два независимых движения: равномерное прямолинейное, происходящее в горизонтальном направлении с начальной скоростью v_0х = v₀·Cosα и свободное падение с начальной скоростью v_0у = v₀·Sinα, (рисунок 1.8). Где α - угол между направлениями вектора скорости υ₀ и осью Ох. Траекторией такого движения является парабола. Уравнения движения примут вид:

Скорость тела в любой точке траектории:

где υ_х = υ_0х, υ_у = υ_0у - g·t.

Пример 2. Тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью υ₀. Определить время полета t, максимальную высоту Н подъема и дальность L полета.

Дано:

α, υ₀

t -?, Н -?, L -?

Решение: Как обычно задача начинается с выявления сил, действующих на тело. На тело действует только сила тяжести, поэтому в горизонтальном направлении оно перемещается равномерно, а в вертикальном - равнопеременно с ускорением g.

Будем рассматривать вертикальную и горизонтальную составляющие движения тела по отдельности, для этого разложим вектор начальной скорости на вертикальную ( υ₀·Sinα ) и горизонтальную ( υ₀·Cosα ) составляющие (рисунок 1.9).

Начнем рассматривать вертикальную составляющую движения. Время полета t = t₁ + t₂, где t₁ - время подъема (тело движется по вертикали равнозамедленно), t₂ - время спуска (тело движется по вертикали равноускоренно).

Вертикальная скорость тела в наивысшей точке траектории (при t = t₁) равна очевидно нулю. С другой стороны, эта скорость может быть выражена при помощи формулы зависимости скорости равнозамедленного движения от времени.

Отсюда, получаем: 0 = υ₀Sinα - g·t₁ или

Зная t₁, находим Н:

Подставим (1.1) в (1.2)

Время спуска t₂ можно вычислить, рассмотрев падение тела с известной высоты Н без начальной вертикальной скорости:

отсюда следует, что t₁ = t₂.

Полное время полета:

Для нахождения дальности полета L необходимо обратиться к горизонтальной составляющей движения тела. Как уже отмечалось, по горизонтали тело перемещается равномерно.

Движение по окружности является простейшим примером криволинейного движения. Скорость υ движения по окружности называется линейной (окружной) скоростью. При равномерном движении по окружности модуль мгновенной скорости материальной точки с течением времени не изменяется. Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности. Тангенциальное ускорение при равномерном движении точки по окружности отсутствует ( a_τ ). Изменение вектора скорости υ по направлению характеризуется нормальным ускорением a_n, которое называется также центростремительным ускорением.

В каждой точке траектории вектор a_n направлен по радиусу к центру окружности, а его модуль равен:

При описании механического движения, в частности движения по окружности, наряду с прямоугольной декартовой системой координат используется полярная система координат. Положение точки М на какой-то плоскости (например, ХОУ) определяется двумя полярными координатами: модулем r радиуса вектора точки и углом φ - угловой координатой, или полярным углом (рисунок 1.10).

Угол φ отсчитывается от оси ОХ до радиуса-вектора r против часовой стрелки. Точку О в этом случае называют полюсом системы координат. Совместим полюс координат системы с центром окружности, по которой движется материальная точка; тогда r = R (рисунок 1.11), а изменение положения точки на окружности может быть охарактеризовано изменением ∆φ угловой координаты точки: ∆φ = φ₂ -φ₁.

Угол ∆φ называется углом поворота радиуса - вектора точки. Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматриваются как векторы.

Модуль вектора dφ равен углу поворота. Направление вектора dφ совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого, вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рисунок 1.12).

Cредней угловой скоростью движения точки по окружности вокруг оси называется величина ω_cp, равная отношению угла поворота ∆φ радиус-вектора точки за промежуток времени ∆t к длительности этого промежутка:

Угловой скоростью (мгновенной угловой скоростью) ω называется предел, к которому стремится средняя угловая скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени ∆t, или первая производная от угла поворота по времени:

Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. также как и dφ (рисунок 1.13).

При равномерном движении точки по окружности за любые равные промежутки времени углы поворота ее радиус-вектора одинаковы. Следовательно, при таком движении мгновенная угловая скорость равна средней угловой скорости: ω = ω_cp. Угол поворота ∆ω радиус-вектора точки, равномерно движущейся по окружности, равен:

Промежуток времени Т, в течении которого точка совершает один полный оборот по окружности, называется периодом обращения (периодом вращения), а величина υ, обратная периоду:

,

частотой обращения (частотой вращения). За один период угол поворота радиус-вектора точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда T = 2π/ω, или ω = 2π/Т = 2πν.

Линейная υ и угловая ω скорости связаны соотношением: υ = ω·R. Это видно из следующего вывода:

Пример 1. Определить модуль скорости и центростремительного ускорения точек земной поверхности на экваторе. Радиус Земли принять равным 6400 км.

Дано:

R = 6400 км = 6,4·10⁶ м;

Т = 24 ч = 8,64·10⁴ с;

υ - ? а_цс - ?

Решение: Точки земной поверхности на экваторе движутся по окружности радиуса R, поэтому модуль их скорости:

Центростремительное ускорение:

Ответ: υ = 465 м/с, а_цс = 0,034 м /с².

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те же величины (и уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси за промежуток времени ∆t углы поворота радиус-векторов различных точек тела одинаковы. Угол поворота ∆φ, средняя ω_cp и мгновенная ω угловые скорости характеризуют вращательное движение всего абсолютно твердого тела в целом.

Линейная скорость υ какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорционально расстоянию R точки от оси вращения:

При равномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы ( ∆φ = const ) и мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости ( ω = ω_cp ). Тангенциальные ускорения a_τ у различных точек абсолютно твердого тела отсутствуют ( a_τ = 0 ), а нормальное (центростремительное ) ускорение a_n какой-либо точки тела зависит от ее расстояния R до оси вращения:

Вектор a_n направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к оси вращения.

При неравномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени неодинаковы. Угловая скорость тела ω с течением времени изменяется.

Средним угловым ускорением ε_ср в промежутке времени ∆t = t₂ - t₁ называется физическая величина, равная отношению изменения угловой скорости ∆ω = ω₂ - ω₁ вращающегося тела за промежуток времени ∆t к длительности этого промежутка:

Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки времени изменяется одинаково ( ∆ω₁₂ = ∆ω₃₄ и т.д.), то ε_ср = const (равнопеременное вращение).

Угловым ускорением (мгновенным угловым ускорением) вращающегося тела в момент времени t называется величина ε, равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до t + ∆t при бесконечном уменьшении ∆t, или, угловое ускорение - это первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

Изменение ∆ω угловой скорости абсолютно твердого тела за промежуток времени ∆t = t - t₀ при равнопеременном вращательном движении с угловым ускорением ε: ∆ω = ε·∆t = ε(t - t₀). Если при t₀ = 0 начальная угловая скорость тела равна ω₀, то в произвольный момент времени t угловая скорость тела будет ω = ω₀ + ε·t.

Угол поворота ∆φ тела вокруг оси за промежуток времени ∆t = t - t₀ при равнопеременном движении:

Тангенциальная составляющая ускорения:

; υ = ω·R, поэтому

Нормальная составляющая ускорения:

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: S = R·φ, υ = ω·R, a_τ = R·ε, a_n = ω²·R.