Определения
- Вектором
называется
направленный отрезок с началом в точке A и
концом в точке B.
- Нулевым
вектором
называется
вектор , у которого начало и конец
совпадают, т.е. A=B . Вектор
не
имеет направления.
- Модулем
вектора
называется
его длина. Два вектора называются равными ,
если их направления совпадают, а длины
равны.
- Углом между
двумя векторами называется наименьший угол ,
на который нужно повернуть один из векторов
до совпадения с направлением второго.
- Два вектора
называются коллинеарными , если они
лежат на одной или на параллельных прямых.
Три вектора называются компланарными
, если они лежат в одной или в параллельных
плоскостях .
Линейные операции над векторами.
Сложение векторов.
Суммой векторов
и
называется
вектор
который
получается при совмещении конца вектора
с началом вектора
.
Тогда началом вектора
будет
начало вектора
,
а концом вектора
-
конец вектора
.
а) Сложение векторов по правилу треугольника:
б) Сложение векторов по правилу параллелограмма:
Свойства суммы векторов:
1) Свойство
коммутативности:
2) Свойство
ассоциативности:
3)
4)
где
- вектор противоположный
.
Умножение вектора на число.
Произведением вектора
на
число
λ
называется вектор
,
такой, что
,
а его направление совпадает с направлением
вектора
,
если
λ>0
и противоположно ему, если
λ<0.
Проекция вектора.
Проекцией вектора
на ось l
называется число
где
α-
угол между направлениями оси
l и вектора
.
Свойства
проекций:
1)
2)
,
где
λ-произвольное
число.
Координаты вектора.
Рассмотрим
прямоугольную систему координат в трехмерном
пространстве OXYZ. Вектору
в
данном пространстве соответствует тройка чисел
(x,y,z),
являющихся проекциями вектора на оси Ox, Oy, Oz.
Эти числа называются координатами вектора
.
Числа получаются как разность соответствующих координат точек A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1):
x=
x1-x0
, y=
y1-y0
, z=
z1-z0
а модуль вектора
,
равный его длине, вычисляется по теореме
Пифагора:
.
Разложение вектора по координатным осям.
Пусть вектор
задан
своими проекциями на оси координат Ox, Oy, Oz.
Выберем на оси Ox
вектор
=
(1,0,0), на оси Oy -
вектор
=
(0,1,0), на оси Oz -
вектор
=
(0,0,1) .
Они взаимно-перпендикулярны и имеют единичную
длину . Векторы
, и называют ортами координатных осей .
Вектор
лежит
на оси Ox и его длина
равна x , поэтому
Аналогично
Сумма этих векторов дает вектор
:
Это выражение
называется формулой разложения вектора по ортам
координатных осей.
Используя эту формулу , нетрудно получить :
Пример 1.
Радиусами-векторами вершин треугольника АВС являются r1, r2, и r3, . Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника.
Решение. Имеем
(D ― середина стороны ВС);
(M – точка
пресечения медиан), поэтому
Итак ,
Пример
2. Найти длину вектора
и
его направляющие конусы.
Решение.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть l –
некоторая прямая, АВ – отрезок на l.
Точка С , принадлежащая отрезку AB , делит его в
отношении
λ
, если
.
Запишем это соотношение в координатном виде :
здесь(x2,y2,z2) - координаты точки C ,(x0,y0,z0)- координаты точки A и (x1,y1,z1) - координаты точки B. Отсюда :
,
,
Пример 3.
Отрезок АВ, где А(3,-5,2), В(5,-3,1), точками С и D разделен на три равные части. Найти координаты точек С и D.
Решение.
По условию АС:СВ=1:2, АD:DВ=2:1. Подставляя в
формулы деления отрезка в данном отношении
значения
получим
координаты точки С:
Аналогично находятся координаты точки D при λ=2:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Даны 3 вершины A(3,-4,7), В(-5,3,-2), С(1,2,-3) параллелограмма АВСD. Найти его вершину D.
2. Даны 2 смежные вершины параллелограмма А(-2,6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2,2). Найти 2 его другие вершины.
3. На оси абсцисс найти тоску М, расстояние до которой от точки А(3,-3) равно 5.
4. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1,-4,7) и В(5,6,-5).
5. Даны вершины треугольника А(3,-1,5). В(4,2,-5), С(-4,0,3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.
6. Треугольник задан координатами своих вершин А(3,-2,1), В(3,1,5), С(4,0,3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
7. Отрезок с концами в точках А(3,-2) и В(6,4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
8. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2,0,2) и D(5,-2,0) разделен на три равные части.
9. Даны точки А(1,-3,-2), В(8,0,-4), С(4,8,-3). Найти такую точку D, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом.