ГЛАВНАЯ
   
ТЕМЫ
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Основы кинематики
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Материя.Пространство время. Механическое движение
Скалярные и векторные величины.  Действия  над  векторами
Проекции вектора на координатные оси
Решение задач по теме "Действия над векторами.  Проекции вектора на  координатные оси"
Виды механического движения. Задача кинематики
Относительность движения. Система отчета. Путь и перемещение
Равномерное прямолинейное движение. Скорость.
Графические представления равномерного прямолинейного движения
Решение задач по теме "Равномерное движение"
Неравномерное движение. Мгновенная скорость
Сложение скорости. Самостоятельная работа по теме "Равномерное движение"
Решение задач по теме "Неравномерное движение. Сложение скоростей"
Лабораторная работа1 Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений
Обобщение и систематизация знаний по теме "Равномерное и неравномерное  движение. Сложение скоростей"
Контрольная работа 1 по теме "Равномерное и неравномерное  движение. Сложение скоростей"
Ускорение
Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением
Решение задач по теме "Ускорение. Скорость при прямолинейном движении при постоянном ускорении"
Путь, перемещение и координата тела прямолинейном движении с постоянным    ускорением
Лабораторная работа 2 Определение ускорения при равноускоренном прямолинейном движении
Решение задач по теме "Путь, перемещение и координата тела при прямолинейном движении с постоянным ускорением
Лабораторная работа 3 Изучение Закономерностей равноускоренного движения
Криволинейное движение. Линейная и угловая скорость при движении тела по окружности. Самостоятельная работа по теме "Равноускоренное движение"
Ускорение точки при её движении по окружности
Лабораторная работа 4 Изучение движения тела по окружности" 
Решение задач по теме "Криволинейное движение"
Обобщение и систематизация знаний по теме "Кинематика"
Контрольная работа 2 по теме "Кинематика"
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Основы динамики

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Законы сохранения в механике
 
 
Меню 
ТЕСТЫ
ЗАДАЧИ
ПРИМЕРЫ
ЗА РАМКАМИ УЧЕБНИКА
 
ОЛИМПИАДЫ
ЗАДАЧИ
ПРИМЕРЫ
ТЕСТЫ
РАЗНОЕ
 
 

Решение задач по теме "Действия над векторами. Проекции вектора на координатные оси"

Определения

  • Вектором называется направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B.

  • Нулевым вектором называется вектор , у которого начало и конец совпадают, т.е. A=B . Вектор не имеет направления.
     
  • Модулем вектора называется его длина. Два вектора называются равными , если их направления совпадают, а длины равны.
     
  • Углом между двумя векторами называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из векторов до совпадения с направлением второго.
     
  • Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной или в параллельных плоскостях .
     

Линейные операции над векторами.

Сложение векторов.

Суммой векторов и называется вектор который получается при совмещении конца вектора с началом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора - конец вектора .

а) Сложение векторов по правилу треугольника:

б) Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Свойства суммы векторов:

1) Свойство коммутативности:

2) Свойство ассоциативности:

3)

4) где - вектор противоположный .

Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число λ называется вектор , такой, что ,
а его направление совпадает с направлением вектора , если
λ>0 и противоположно ему, если λ<0.

Проекция вектора.

Проекцией вектора на ось l называется число

где α- угол между направлениями оси l и вектора .

Свойства проекций:
1)
2) , где
λ-произвольное число.

Координаты вектора.

Рассмотрим прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве OXYZ. Вектору в данном пространстве соответствует тройка чисел (x,y,z), являющихся проекциями вектора на оси Ox, Oy, Oz. Эти числа называются координатами вектора .

Числа получаются как разность соответствующих координат точек A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1):

x= x1-x0 , y= y1-y0 , z= z1-z0

а модуль вектора , равный его длине, вычисляется по теореме Пифагора:

.

Разложение вектора по координатным осям.

Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Oy, Oz.
Выберем на оси Ox вектор = (1,0,0), на оси Oy - вектор = (0,1,0), на оси Oz - вектор = (0,0,1) .
Они взаимно-перпендикулярны и имеют единичную длину . Векторы , и называют ортами координатных осей .

Вектор лежит на оси Ox и его длина равна x , поэтому Аналогично Сумма этих векторов дает вектор :

Это выражение называется формулой разложения вектора по ортам координатных осей.
Используя эту формулу , нетрудно получить :

Пример 1.

Радиусами-векторами вершин треугольника АВС являются r1, r2, и r3, . Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника.

Решение. Имеем

(D ― середина стороны ВС);

(M – точка пресечения медиан), поэтому

Итак ,

Пример 2. Найти длину вектора и его направляющие конусы.

Решение.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть l – некоторая прямая, АВ – отрезок на l.
Точка С , принадлежащая отрезку AB , делит его в отношении
λ , если

 .

Запишем это соотношение в координатном виде :

здесь(x2,y2,z2)  - координаты точки C ,(x0,y0,z0)- координаты точки A и (x1,y1,z1) - координаты точки B. Отсюда :

,,


Пример 3.

Отрезок АВ, где А(3,-5,2), В(5,-3,1), точками С и D разделен на три равные части. Найти координаты точек С и D.

Решение. По условию АС:СВ=1:2, АD:DВ=2:1. Подставляя в формулы деления отрезка в данном отношении значения получим координаты точки С:

Аналогично находятся координаты точки D при λ=2:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Даны 3 вершины A(3,-4,7), В(-5,3,-2), С(1,2,-3) параллелограмма АВСD. Найти его вершину D.

2. Даны 2 смежные вершины параллелограмма А(-2,6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2,2). Найти 2 его другие вершины.

3. На оси абсцисс найти тоску М, расстояние до которой от точки А(3,-3) равно 5.

4. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1,-4,7) и В(5,6,-5).

5. Даны вершины треугольника А(3,-1,5). В(4,2,-5), С(-4,0,3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

6. Треугольник задан координатами своих вершин А(3,-2,1), В(3,1,5), С(4,0,3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

7. Отрезок с концами в точках А(3,-2) и В(6,4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

8. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2,0,2) и D(5,-2,0) разделен на три равные части.

9. Даны точки А(1,-3,-2), В(8,0,-4), С(4,8,-3). Найти такую точку D, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом.

Тест "Действия над векторами"

 
 

 

 
 
Copyright © 2011 © СОШ №2 им. Н.П. Массонова г.Свислочь © Синица А.А., Михальчик В.